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澳门24小时娱乐网址Hill排序--学习笔记

  Hill排序(Shellsort)由DonaldShell提议,对直接插入排序实行了改进。由于其算法特征,又称为"裁减增量排序"。

数据结构与算法--排序之冒泡、选取、插入、Hill

咱俩关怀的首要对象是重新排列数组元素的算法,每一个成分皆有一个主键,排序算法的目标是将富有因素依照某种格局排列,排列后索引大的要素的主键大于等于索引小的因素的主键。成分和主键在不一样的应用中可能各不相像,在Java凉月素平日都是目的,并且貌似都以可互相相比的靶子——即完成了Comparale接口。

1、Comparable和compareTo方法

落到实处了Comparable接口,由此必得完成compareTo,平日的话,习于旧贯于当v < w、v = w和v > w时,v.compareTo(v卡塔尔(英语:State of Qatar)分别再次回到-1、0、1。要是v和w两个之一是null或许两个不可能相比将会抛出极度。并且亟需满足上面多少个标准化。

  • 自反性。对于具有的v,有v = v;
  • 反驳称性。对于有着的v > w都有w < v,且当v = w时有w = v;
  • 传递性。对于具有的v、w、x,假如v <= w且w <= x,则v <= x.

2、排序的安定团结

只要待排序的行列中留存八个要素相近,在排序前后它们的相对地方并未有生出转移,就称该排序算法是平安的。举例,比方待排序种类如下

[3, 5, 4, 2, (5), 6]

末段贰个成分5和首个因素5是相近的,特别用括号标注它。那时5在(5卡塔尔(英语:State of Qatar)的眼下。即使排序后的行列是

[2, 3, 4, (5), 5, 6]

此时5在 (5卡塔尔国的后面了,它们的相对地点爆发了退换,所以该排序算法是不稳定的。

若果排序后改成下边包车型的士标准,它们的相对地方和排序前没有差距,则该排序算法是平安的。

[2, 3, 4, 5, (5), 6]

今天来看多少个差不离的排序算法。

目录

  • 二个可视化算法与数据构造的网址
  • 解法后生可畏、插入排序
    1 难题剖判并精选适用的数据布局
    2 算法准确性的认证
    3 算法的剖判
  • 解法蓬蓬勃勃(2)、二分插入排序——插入排序的精雕细琢
  • 解法后生可畏(3)、Hill排序——插入排序的更便捷改正
  • 解法二、冒泡排序
  • 解法三、干白排序——冒泡排序的改革
  • 解法四、选取排序
  • 解法五、归总列排在一条线序
  • 解法六、堆排序
  • 解法七、快捷排序

  Hill排序使用三个增量连串(h1, h2, h3, ..., hk),只要h1 = 1,任何增量连串都以可行的,增量连串不唯生龙活虎,但有的增量类别比另风流倜傥部分增量种类要好。希尔排序的一个最主要性质是,三个hk排序的公文物珍惜持它的hk排序性。其中,一趟hk排序的效果与利益正是对hk个独立的子数组分别施行一回插入排序。(摘自《算法和数据构造》)

最轻巧想到的排序法

有种排序是最轻便想到的,当然品质确定不咋滴。数组中率先个地方的成分和它背后的每一种成分相比较,假诺前边的越来越小,多少个元素交流,于是更加小的因素被换来了数组第叁个职责,接着用那首先个职位的因素和世袭成分比较,直到和数组中每一个成分都相比过一回,时期大概发生了频仍换来,最终数组第3个职分一定是小小的成分了;第多少个地点鲜明了,接下去同样的方式明确首个地点....直到最终二个职位明确,排序完毕。依照描述,写出如下代码。

package Chap9;

public class SimpleSort {
    public static void sort(Comparable[] a) {
        // 倒数第二个元素确定了,那最后一个元素自然而然就确定了,其实i < a.length - 1就好
        // 但是i < length也是可以的,进入第二层循环后j = a.length直接跳出循环
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            for (int j = i +1; j < a.length; j++) {
                // 如果后面的比当前元素小,就交换
                if (less(a[j], a[i])) {
                    swap(a, i, j);
                }
            }
        }
    }

    private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
        return v.compareTo(w) < 0;
    }

    private static void swap(Comparable[] a, int p, int q) {
        Comparable temp = a[p];
        a[p] = a[q];
        a[q] = temp;
    }


    public static boolean isSorted(Comparable[] a) {
        for (int i = 0; i < a.length - 1; i++) {
            if (less(a[i+1], a[i])) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    public static String toString(Comparable[] a) {
        if (a.length == 0) {
            return "[]";
        }

        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        sb.append("[");
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            sb.append(a[i]);
            if (i == a.length - 1) {
                return sb.append("]").toString();
            } else {
                sb.append(", ");
            }
        }
        return sb.toString();
    }

    public static void main(String[] args) {
        Integer[] a = {9, 1, 5, 8, 3, 7, 4, 6, 2};
        SimpleSort.sort(a);
        System.out.println(SimpleSort.toString(a));
        System.out.println(isSorted(a)); // true
    }

}

算法的轨道如下,9和1比较,1被换成了数组第二个职分。之后1再和世袭元素比较,都并未有1小,因而不交流;然后第二个岗位,5比9小所以调换,5和3比又换来,3和2比又换到,最终2微小显著在数组第叁个地点......剩下的元素就不风流浪漫生龙活虎陈说了。

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能够窥见在规定第二小成分的时候,举行了一遍沟通。可当真实用的置换是最后把2换过来的那二遍,后面包车型地铁多少次调换都是剩下的,其实一贯将小小元素交流过来就足以了。基于此对上面的算法的精雕细刻正是粗略接受排序了。

这种算法有瑕玷,不独有无效的置换操作超级多,并且还有大概会把自然非常小的因素调换成后边去,比方,上例中3当然在数组中间,经过两轮循环的排序后,它以至到了数组的背后。

叁个可视化算法与数据布局的网址

https://visualgo.net/en

算法深入分析

大概选用排序

具体来讲:接纳数组中型小型小的的要素,将它与数组中第四个成分调换,假如第二个因素便是一丝一毫值,那就和温馨沟通或然不交流;在结余的成分中找到最小成分,和数组中第2个要素实行调换....

调换发生在历次循环中筛选出最小成分之后,并不是盲目地见到三个比这段时间成分小的就马上交流,由此轻巧接收排序比起上面包车型地铁排序算法,元素调换的操作大大减弱,品质拿到一定提高。

public class SelectSort {
    public static void sort(Comparable[] a) {
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            // min保存目前最小元素的下标,刚开始假设位置i的元素最小,然后和之后每个元素比较,
            int minIndex = i;
            // 只要后面更小就更新min,因此一轮循环下来min肯定是最小元素下标
            for (int j = i + 1; j < a.length; j++) {
                if (less(a[j], a[minIndex])) {
                    minIndex = j;
                }
            }
            // 如果第一个元素就是最小值,无需交换
            if (i != minIndex) {
            // 最小元素换到位置i
                swap(a,i, minIndex);
            }
        }
    }
}

实现有效一个minIndex的int型值记录在每轮循环中数组最小成分的下标。一齐始假使数组中率先个要素是极小的,然后和后边全部因素相比较,要是后边的要素越来越小,就创新minIndex为前边成分的下标(第大器晚成种算法一直沟通,看出用下标志录最小值的低价了啊),当和有着因素相比较后,minIndex自然是数组中细小成分的下标,由此将minIndex处的要素和数组第三个职位的因素调换(如若第三个要素的下标便是minIndex,不供给交换);接着如若数组第三个职位的要素是细微的,依据同样的章程接受出剩下成分中的最小者,其下标是minIndex,由此将数组第一个地方的因素和minIndex处的因素交流,那样就分明了第生机勃勃三个地方...前边都不会再拜望到那么些曾经稳步的要素,之后的成分也是均等的操作,直到数组最后二个地点的要素也规定了,排序也就产生了。

下图是某字符数组的选料排序轨迹,水晶色圆圈内的是每轮循环中的最小元素。第生机勃勃轮选出最小成分A和数组第三个地点S沟通;第一轮选出最小成分E和数组第二个成分O交流....

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简短选取排序犹如下两性子子:

  • 运作时刻和输入状态无关,已经平稳的数组只怕主键全体一模二样的数组以至自由排列的数组所用的排序时间是意气风发律的!都亟需相比N * (N - 1) / 2
  • 数据交流的次数非常少,最佳状态下调换0次,最坏处境下沟通N - 1次。

简轻松单选择排序是不稳固的排序算法,举个例证[5, 4, 5, 3, 2],第风姿洒脱轮会将最下的2与数组第二个地点的5换到,七个等值的5相持地方发生了变动。

主题素材定义

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  概念总是呈现有一些深奥,从例子去深入分析:

冒泡排序

冒泡排序的思路:相近成分之间两两比较,不断将很大的因素以往推(恐怕不断将一点都不大成分往前推)。以前面一个为例,从后往前遍历数组,数组中最后壹位和尾数第三位元素相比较,相当小者被换来到前方;然后用超小者和左臂相邻的成分比较,继续将相当小者换成前面,最终最小成分就在数组的第二个岗位分明下来。第一轮相像的操作,将多余成分中的最小成分在数组的第二个岗位分明下来...如此一再。

public class BubbleSort {
    public static void sort(Comparable[] a) {
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            // 从最后一个元素开始,不断将较小的往前推,被推到数组左端就是最小元素
            for (int j = a.length - 1; j > i; j--) {
                // 后面的比前面的小就交换
                if (less(a[j], a[j - 1])) {
                    swap(a, j - 1, j);
                }
            }
        }
    }
}

下边包车型地铁图演示了前多个细微成分是怎么被“冒泡”到数组的前端的。

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解法一、插入排序

  要是大家有叁个数组:

冒泡算法的优化

试想后生可畏种比较特别的处境,假诺待排序的行列基本铁定的事情如[2, 1, 3, 4, 5, 6, 7 ,8, 9],只要在第豆蔻梢头轮冒泡上校2和1换来后,其实全体类别就早就平稳了,不过算法还是在拓宽比较,因而那几个相比较都是空洞的,间接跳出循环就好。

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据此设置一个标识位isSorted假定在某轮循环中一向不产生成分交流,表达体系已经平稳,直接break跳出循环,停止没有需求的可比。

public static void sort2(Comparable[] a) {
    boolean isSorted;
    for (int i = 0; i < a.length; i++) {
        // 每轮循环都先假设已经有序,若之后有元素交换了说明可能还没有达到有序,变成false。
        isSorted = true;
        // 从最后一个元素开始,不断将较小的往前推,被推到到数组左端就是最小元素
        for (int j = a.length - 1; j > i; j--) {
        // 后面的比前面的小就交换
            if (less(a[j], a[j - 1])) {
                swap(a, j - 1, j);
                isSorted = false;
            }
        }
        // 如某轮循环没有发生交换,说明已经有序了,直接跳出循环
        if (isSorted) {
            break;
        }
    }
}

冒泡排序的相比和因素调换都产生在多少个相邻成分之间,相邻的等值成分不会展开置换,固然等值成分不相邻,在交流后也会相邻,仍旧不会换换它们的职责,因而冒泡排序是平布置序算法

1 难点深入分析并接受稳妥的数据布局

1)分析
犹如于抓扑克牌:起首时,大家的左边为空而且桌上的牌面向下。然后,我们每回从桌上拿走一张牌并将它插入右边手中正确的职位。为了找到一张牌的科学地点,大家从右到左将它与已在手中的每张牌进行比较。拿在手上的牌总是排序好的。

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扑克

2)数据构造与伪代码
数组A[1..n],长度A.length
原址排序输入的数

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var s = [21, 3, 36, 81, 12, 7, 23, 48, 62, 95, 44, 73];

插入排序

想像生活中打扑克,从牌堆摸起一张牌,将它插到其余已经平稳的牌中的合适岗位。在数组中对应着插入操作,为了给插入的因素腾出空间,需求将别的比它大的成分都向右移动一个人。和筛选排序、冒泡排序雷同,当前目录从前的成分已经平稳,但有区别。对于冒泡、选取排序,当前目录此前的因素不唯有有序何况最后地方也规定了,在其后的轮回中不会被访问到;而对于选用排序,当前目录早前的因素即便是铁板钉钉的,不过最终地点还不鲜明,后来的因素如果更加小将插入此中,每便插入后都使妥帖前数组是上行下效的,所以当最终叁个要素插入到数组中适当的量的职位时,整个数组排序就到位了。

插入排序所需的时日决议于待排序数组的带头顺序,对三个看似平稳的数组举办排序比自由顺序的数组要快得多。

public class InsertSort {

    public static void sort(Comparable[] a) {
        for (int i = 1; i < a.length; i++) {
            // 当前索引如果比它前一个元素要大,不用插入,否则需要插入
            if (less(a[i], a[i-1])) {
                // 待插入的元素先保存
                Comparable temp = a[i];
                // 元素右移
                int j;
                for (j = i; j > 0 && less(temp, a[j-1]); j--) {
                    a[j] = a[j -1];
                }
                // 插入
                a[j] = temp;
            }
        }
    }
}

因为用到了数组下标i - 1,所以最外层循环从1方始。当前索引i在此之前的因素已经稳步,所以一旦当前目录的成分比它前者因素大(自然就比后面包车型大巴全体因素都大),则不需求举办插队操作;不然供给插入,插入以前先将要插入的因素用temp保存下来,然后内层for循环正是右移成分,直到某些j-1处的要素是稍低于temp截至,然后temp插入到岗位j处。

下图反映了插入排序的轨道,被墨深紫红圆圈包住的成分正是被插入到合适岗位的要素了,桔黄的要素都并未有运动,别的赤褐的因素都往右移动了大器晚成格。

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从代码能够想见插入排序平常比接受排序比较次数越来越少,特别是对于贴近平稳的数组。下图能够展现那少年老成趋向。

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用条形图的高低表示成分的大小,那二个湖蓝条形图参加了相比,能够看出插入排序的可比次数比选取排序的要少。

插入排序对于局地有序的数组更有优势,以下是两种标准的片段有序数组:

  • 数组中的各样成分离它们的末梢地点都不远;
  • 贰个平稳的天数组接三个小数组;
  • 数组中唯有多少个要素的义务不科学

对此上述几类别型的数组,插入排序经常比任何算法要快些。

插入排序的因素移动是依靠插入成分与前方成分的深浅来调整的,当插入成分遭逢和它等值的成分时就终止运动了,由此很好的涵养了它们原本的相对地方,因而插入排序是安然仍然的排序算法。

2 算法正确性的印证

1)循环不改变式
在第1-8行的for循环的历次迭代最初时,子数组A[1..j-1]是由原本在A[1..j-1]中的成分构成,但已按序排列。

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插入排序

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2)证明
至于循环不改变式,大家必须表达三条情势:
起首化:循环的首先次迭代事情未发生前,它为真
这时子数组独有二个成分A[1],成立
保持:假诺循环的某次迭代以前它为真,那么后一次迭代事情发生前它仍然为真
第4-7行找到A[j]的合适地方,第8行将A[j]插入该义务。那时的A[1..j]由原本的A[1..j]构成,但已按序拍好。
悬停:在循环终止时,不改变式为大家提供了叁个灵光的特性,该性质有援助注明算法是正确的
截至条件j > A.length,那时候j = n + 1,在循环不改变式中的表述上将j用n+1替代,则A[1..n]由原来的A[1..n]重新整合,但已排序

  选拔二个增量体系h1=1,h2=2,h3=4。

希尔排序

Hill排序基于插入排序。对于广泛乱序数组插入排序非常的慢(由此更合乎于小框框的一些有序数组),成分移动只是每回移动后生可畏格,因而豆蔻年华旦最小元素在数组的末端,要将它插入到合适的职位供给N

  • 1次活动。Hill排序就是基于那一点,使得成分得以壹次活动多格。

具体来讲,Hill排序遵照增量h将原数组分成了h个子数组(插入排序能够充作是增量为1),然后分别对那h个子数组实行插入排序;之后依照一定的涉及减小增量h,再对h个子数组插入排序,每一趟排序后的数组更加的接近部分有序,最终保障增量h会减小到1,对这么些数组最后举办一回插入排序,整个数组排序达成。

增量h和子数组的关系如下图所示

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增量为4,因而下标为0、4、8、12的构成一个子数组,1、5、9、13也结成四个子数组。总共4个,可以见见三个h有序数组正是由h个有序子数组组成的。

在代码中只需求将插入排序中的增量1换到h就能够。别的为了使得最终的增量能减小到1,使用了四个1 / 2(3^k - 1)队列,满意递推关系为h = 3h + 1,那是依据数学解析上的设想,在大方试验中证实该连串能够保障较好的品质。

public class ShellSort {

    public static void sort(Comparable[] a) {
        int h = 1;
        while (h < a.length / 3) {
            h = 3 * h + 1; // 1, 4, 13...
        }
        // 上面的代码是将初始增量设置为 小于N/3且满足序列3h + 1的最大值

        // 最后一次增量h = 1,之后h = 0退出while
        while (h >= 1) {
            // 和插入排序比将i = 1换成了i = h;i还是自增1,表示处理下一个子数组(交替处理各个子数组)
            for (int i = h; i < a.length; i++) {
                // a[i - 1]换成了a[i - h]
                if (less(a[i], a[i - h])) {
                    // 待插入的元素先保存
                    Comparable temp = a[i];
                    // 元素右移
                    int j;
                    // j > 0(即j >= 1)换成了j >= h;less(temp, a[j - 1])中1换成了h;j--换成了j = j - h
                    for (j = i; j >= h && less(temp, a[j - h]); j = j - h) {
                        // a[j - 1]换成了a[j - h]
                        a[j] = a[j - h];
                    }
                    // 插入
                    a[j] = temp;
                }
            }
            // 缩小增量h,最终肯定能缩小到1
            h = h / 3; // ...13, 4, 1
        }
    }
}

申明中进入了和插入排序的比较,实在是将增量1改成了增量h就能够了!第叁个while循环是设置开首增量,基于数学上的剖析,八个较优值是取增量h为小于数经理度N / 3且满意种类1 / 2(3^k - 1)的最大值。在对全部子数组都进展过插入排序后,收缩增量h。由于裁减的方法和巩固的法子雷同,所以最后h一定能被裁减到1,进而保障了最后三次是增量为1的插入排序**。之后h = 1 / 3 = 0会脱离while循环(注意,那些除法当然是Java中的除法操作)。

3 算法的深入分析

n = A.length
tj代表对值j地5行施行while循环测量检验的次数

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插入排序

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最棒状态:已排好序

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g

最坏景况:倒排序

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插入排序的下界的另大器晚成种解析方法:

逆序:数组的一个逆序指的是数组中具有性质i < j,单A[i] > A[j]的序偶(A[i], A[j])
例如数组[34, 8, 64, 51, 32, 21]有9个逆序:
    (34, 8)  (34, 32)  (34, 21)
    (64, 51) (64, 32) (64, 21)
    (51, 32) (51, 21)
    (32, 21)

逆序的消除:通过交换相邻两个元素的顺序可以恰好消除一个逆序

由于插入算法中还有O(N)项其他工作,因此插入排序的运行时间为O(I + N),其中I为原始数组中的逆序数。

前提:假设所有的排列都是等可能的。
定理1.N个互异数的数组的平均逆序数是N(N - 1)/4
证明:对于任意的数的表 L(5,8,9,6,4),以及其反序表 Lr(4,6,9,8,5),
它们各自的逆序数分别为:6 ((5, 4), (8, 6), (8, 4), (9, 6), (9, 4), (6, 4)),
                                          4((6, 5), (9, 8), (9, 5), (8, 5))。
也即表与其反序表的逆序数之和为 6+4=10,恰好是元素总数 5 关于 2 的排列数,(52)=10。

因为任意一对数(x,y)且x在前又x>y的情况(逆序数的定义)一定会在二表之一中,
所以可以说一个互异数表与其反序表的逆序数之和一定是N(N-1)/2,
也就是说任意一个互异数表的平均逆序数为 N(N-1)/4.

定理2.通过交换相邻元素进行排序的任何算法平均需要Ω(N²)
有定理1可得

这个定理告诉我们,为了使一个排序以亚二次时间运行,必须对相距较远的元素进行交换,也即每次删除应该大于1个逆序。

  1.进行三回4排序:将原数组分为多少个独立的子数组,对多少个子数组进行插入排序,

大家看上边的得以实现是怎么对每一个子数组进插入排序的,你只怕以为它是在达成多个子数组的排序后再对下一个子数组的开展插入排序的,按上边h

4的图来讲便是,先对下标0、4、8、12的子数组达成排序后,再张开下标1、5、9、13的子数组排序,但以那样的次第管理种种子数组,代码应该会更复杂。实际上大家利用了更简便的格局,如下

for (int i = h; i < a.length; i++)

结合上海体育地方,i++评释大家是交替对各类子数组实行插入排序的,比方开端i = h = 4,表示对下标0、4、8、12的子数组LMPT举行插入排序,然后i自增后等于5,转而对下标1、5、9、13的子数组EHSS进行插入排序...当i自增至8时,又回去对下标0、4、8、12的子数组LMPT排序,那样结尾也高达了对种种子数组进行插入排序的指标。硬要打个比方来讲,h个子数组能够看成h个线程,单核微处理机并发管理那h个任务,即在此h个线程中切换(由此会中断当前线程去管理任何线程),改造施行h个线程。

看Hill排序的轨迹图,被青莲圆圈包住的因素是现阶段索引成分,它照旧原地不动要么被插入到合适的任务。玉丁香紫成分是移动过的,朱红元素则从未运动。

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平常来说,Hill排序比选取排序和插入排序都要快,况且数组规模越大,优势显示得越掌握。此外,增量h的队列如何抉择本事落得最佳的属性,到今天依旧是个数学难点。由此无需郁结为何非得取1/2 (3^k - 1)那样的行列,只要记住选拔这几个行列能够收获不错的性质就好了。

Hill排序由于增量平时十分大,成分的位移跨度相当大,是跳跃性的,何况各样子数组的要素移动改换实行,因而很有望就无法保障等值成分的相对地点。由此希尔排序不是平静排序算法


by @sunhaiyu

2017.10.27

解法豆蔻梢头(2)、二分插入排序——插入排序的改良

  ①将孔雀绿数组排序,别的不改变

1. 主题材料浅析及数据布局的选拔

能够透过二分查找法减少相比操作的次数,快捷稳固要插入的职位。

伪代码:
BINARY-INSERTION-SORT(A)

for j = 2 to A.length
    key = A[j]
    left = 0, right = j - 1

    while left <= right
          mid = (left + right) / 2
          if (A[mid] > key)
                right = mid - 1
          else 
                left = mid + 1

    for i = j -1 to left
          A[j + 1] = A[j]
    A[left] = key

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2. 不易申明

实为上与插入排序是一模二样的,只可是经过了二分查找减弱了相比较的次数
里头二分查找法终止时:left > right,那时right = mid -1,mid = left 且有A[mid] > key
即mid是第四个高于key的数,也即left是第三个高于key的数,由此left的职位正是key要插入的位置

特别注意,即便是有相近成分插入的时候,left也是第3个当先key地方
举例4 6 8 8 9 11,今后安顿key = 8,找到的left地点依旧9的职位

  ②同理

3. 算法深入分析

跟插入排序豆蔻梢头致

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解法风流罗曼蒂克(3)、Hill排序——插入排序的更快捷修改

  ③同理

1. 主题素材浅析及数据构造的筛选

伪代码:
SHELL-SORT(A)   这里的A的下标从0到A.length - 1,跟上面的插入排序略有不同
for increment = A.length/2; increment > 0; increment /=2
    for j = increment; j < A.length; ++j
        key = A[j]
        i = j - increment
        while i >= increment and A[i] > key
            A[i + increment] = A[i]
            i = i - increment
         A[i + increment] = key

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2. 不错注脚

实为上是插入排序,从伪代码也足以见见

  ④同理

3. 算法解析

希尔排序的一个很重要的考察:

希尔排序使用一个序列h₁, h₂, ...,叫做增量序列。

hk排序的一般做法是,对于hk, hk+1, ... , N - 1中的每一个位置i,
把其上的元素放到i, i - hk, i - 2hk ... 中间的正确位置上。

这样的结果便是:一趟hk排序的作用就是对hk个独立的子数组执行一次插入排序
(子数组的元素间隔hk)

希尔排序的性能跟增量序列有关,几种常见的增量序列:
希尔增量
Hibbard增量
Knuth增量
Gonnet增量
Sedgewick增量

shell sort在适当的增量序列下快的原因在于一次消除更多的逆序对以及通过增量减少重复无意义的比较。
比如说按4排完后再按2排无疑会有一部分比较是无意义的。
因为在按4已经有序了,再按2排序能消除的逆序对就大大减少了。

定理:使用希尔排序的最坏情形 运行时间为Θ(N²)
分为两步:
1)证明下界:通过构造一个坏情形来证明
a. N是2的幂
b. 偶数位置上有N/2个最大数;奇数位置上有N/2个最小数
因此除了最后增量为1的排序外,其他排序都不会将奇数和偶数位置上的数进行排序,
那N/2个最大数仍然在偶数位置上。
原因是偶数+偶数 = 偶数(位置);奇数+偶数=奇数(位置)

在最后一趟排序开始前第i个最小的数(i <= N/2)在位置2i-1,需要移动i-1个间隔。
      ∑i-1  (i:1~N/2) = Ω(N²)

2)证明上界:利用希尔排序的观察来证明(hk个子数组的插入排序)
带有增量hk的一趟排序有hk个关于N/hk个元素的插入排序组成,由于插入排序是二次的,
因此一趟排序总的开销是O(hk(N/hk)²) = O(N²/hk)。

对所有各趟排序求和有O(∑N²/hi  (i:1~t)) = O(N²∑1/hi  (i:1~t),几何级数,公比为2,
几何级数的和小于2,因此总的界为O(N²)

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Hill排序的下界注明例子

定理:使用Hibbard增量的希尔排序的最坏情形运行时间为Θ(N³/²)
Hibbard增量:1, 3, 7, ... , 2ⁿ - 1
1)证明下界:通过构造一个坏情形来证明
2)证明上界:
a.对于hk > N¹/²的增量,使用前面得到的界O(N²/hk)
b.对于hk<= N¹/²的增量
    需要证明的是:对于位置P上的元素Ap,当腰执行hk排序是,
    只有少数元素在位置P的左边且大于Ap

当对数组进行hk排序是,已经是hk+1和hk+2排序了。
在hk排序以前,考虑位置P和P-i上的两个元素,其中i<=P,
如果i是hk+1或者hk+2的倍数,那么显然A[P - i] < A[P]

并且,如果i可以表示为hk+1和hk+2的线性组合(非负数),那么也有A[P-i] < A[P]
举个例子:i = m * hk+1 + n * hk+2
那么有A[i] = A[P - m * hk+1 - n * hk+2 ] < A[P - n * hk+2] < A[P]

现在,hk+2 = 2 * hk+1 + 1,因此没有公因子(因为ax+by = 1,则表明两个数互质)。在这种情况下,可以证明:
至少和(hk+1 - 1)(hk+2 - 1) = 8hk² + 4hk一样大的所有整数都可以表示为hk+1和hk+2的线性组合。
因此每次while循环处理一个子数组,个数为1/hk,
而最多只有(8hk² + 4hk)/hk没有排好序 = O(hk),
而每一趟有O(N - hk) * O(hk) = O(Nhk)

Hibbard增量系列下界的证实:(未有弄懂)

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连带故事集:Hibbard, Thomas N. (1964卡塔尔. "An Empirical Study of Minimal Storage Sorting".Communications of the ACM 6(5): 206–213.

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证明:m和n互质,最大不能组合数为(m - 1)n - m

借助几个结论:
1)由于gcd(m,n)=1,所以 0,n,2*n,3*n,...(m-1)*n,对m作除,
余数肯定不同,且为{0,1,2,3...m-1}中的某数
反证法:其中若有两个对m的余数相同,
做差k2 * n - k1 * n = kn,其中 k <= m - 1
并且kn = lm,则y = kn = lm是m,n的公倍数,并且y < mn
但是由于m,n互质,其最小公倍数为mn,因此矛盾

2)设 kmin = min{ k | nk ∈ {i (mod m)} }, i ∈ [0, m)
则 nkmin 是{i (mod m)}中n的最小倍数。特别的,nm ∈ {0 (mod m)}
nkmin 是个标志,它表明{i (mod m)}中nkmin 后面所有数,
即nkmin + jm必定都能被组合出来

证明:
Lcm(m, n) = mn,所以很明显(m-1)n是最大的
因为(m-1)n是nkmin 中的最大值,
所以在剩下的m-1个剩余类中,必定有比它小并且能被m和n组合,
这些数就是(m-1)n -1,(m-1)n -2,……,(m-1)n -(m-1)
所以最大不能被组合数就是(m-1)n -m

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以23, 10, 4, 1的急剧类别进行Hill排序:

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解法二、冒泡排序

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